具有变号非线性的拟线性问题中自然增长项的正则化效应

我们研究了 Dirichlet 问题 \begin{equation*} \tag{$P$} \label{pba} \left\{ \begin{alignedat}{2} -\Delta_p u + g(u) |\nabla u|^p &= \lambda f(u) \quad &&\mbox{in} \;\; \Omega, \\ u &= 0 \quad &&\mbox{on} \;\; \partial\Omega, \end{alignedat} \right. \end{equation*} 解的存在性与不存在性,其中 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ 是光滑有界区域,$p\in (1,\infty)$,$\lambda>0$ 且 $g\in C(\mathbb{R})$。我们的主要假设是 $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 为连续函数,且对所有 $s\in (\alpha,\beta)$ 满足 $f(s)>0$,其中 $0<\alpha<\beta$ 是 $f$ 的两个零点。若 $f(0)\geq 0$,我们证明涉及 $f$ 和 $g$ 的面积条件是存在一对 $(\lambda,u)\in \mathbb{R}^+\times C_0^1(\overline{\Omega})$ (满足 $u\geq 0$ 且 $\|u\|_{C(\overline{\Omega})}\in (\alpha,\beta]$) 求解~\eqref{pba} 的充分必要条件。我们还研究了梯度项的存在如何影响解的存在性。粗略地说,$g$ 越负,其对~\eqref{pba} 的正则化效应越强。我们证明,无论 $f$ 的形状如何,对于任意固定的 $\lambda$,总存在一个函数 $g$ 使得~\eqref{pba} 容许一个最大值在 $(\alpha,\beta]$ 中的非负解。