非标准增长方程的全局梯度估计

我们研究了初始数据和自由项的光滑性如何影响 $p(x,t)$ -Laplace 类型抛物方程的 Dirichlet 问题解的全局正则性质。该方程具有如下形式：$$u_t-\Delta_{p(\cdot)}u=f(z)+F(z,u,\nabla u),\quad z=(x,t)\in Q_T=\Omega\times (0,T),$$其中非线性源项为 $F(z,u,\nabla u)=a(z)|u|^{q(z)-2}u+|\nabla u|^{s(z)-2}(\vec c,\nabla u)$。我们证明解的存在性：若 $|\nabla u(x,0)|\in L^r(\Omega)$ 且 $r\geq \max\{2,\max p(z)\}$，则梯度在时间上保持初始可积性，获得全局更高可积性，解获得如下第二阶正则性：$$\text{$|\nabla u(x,t)|\in L^r(\Omega)$ 对几乎所有 $t \in (0,T)$ 成立}, \qquad \text{$|\nabla u|^{p(z)+\rho+r-2} \in L^1(Q_T)$ 对任意 $\rho \in \left(0, \frac{4}{N+2}\right)$ 成立},$$以及 $$|\nabla u|^{\frac{p(z)+r}{2}-2}\nabla u\in L^2(0,T;W^{1,2}(\Omega))^N.$$ 指数 $r$ 在 $f\in L^{N+2}(Q_T)$ 时可任意取且独立于 $p(z)$；当 $f\in L^\sigma(Q_T)$ 且 $\sigma \in (2,N+2)$ 时，$r$ 属于由 $\max p(z)$, $\min p(z)$, $N$ 和 $\sigma$ 定义的有界区间。我们还证明了一个独有兴趣的积分配比公式。