具非线性梯度项的 p-Laplacian 演化方程全局解的有界性

我们研究了具梯度非线性的一个一维退化抛物方程的 Cauchy-Dirichlet 问题解的有界性和大时间行为：$$u_t = (|u-x|^{p-2} u-x)_x+|u_x|^q \qquad \text{in}\quad (0, +\infty)\tiles(0, 1),\qquad q > p > 2.$$ 我们证明：要么 $u_x$ 在有限时间内爆破，要么 $u$ 是全局的并在 $W^{1, \infty}$ 范数下收敛于唯一的稳态。这特别排除了具有无界梯度的全局解的可能性。为此，我们采用 Zelenyak 的方法构造了一个 Lyapunov 泛函。