一类非线性抛物方程解的全局存在唯一性

考虑方程 $$u'(t)-\Delta u+|u|^\rho u=0, \quad u(0)=u_0(x), (1),$$ 其中 $u':=\frac {du}{dt}$, $\rho=const >0,$ $x\in \mathbb{R}^3$, $t>0$。假设 $u_0$ 为光滑且衰减的函数，$$\|u_0\|\:=\sup_{x\in \mathbb{R}^3, t\in \mathbb{R}_+} |u(x,t)|.$$ 证明了问题 (1) 具有唯一的全局解，且该解满足估计 $$\|u(x,t)\|<c,$$ 其中 $c>0$ 不依赖于 $x,t$。