具有混合非齐次条件的非线性粘弹性问题解的存在性与衰减

我们研究如下非线性波动方程的初边值问题:\n$u_{tt}-u_{xx}+\int_{0}^{t}k(t-s)u_{xx}(s)ds+ u_{t}^{q-2}u_{t}=f(x,t,u)$,$0 < x < 1$,$0 < t < T$,\n$u_{x}(0,t)=u(0,t)$,$u_{x}(1,t)+\eta u(1,t)=g(t)$,\n$u(x,0)=\hat{u}_{0}(x)$,$u_{t}(x,0)=\hat{u}_{1}(x)$,\n其中 $\eta \geq 0$,$q\geq 2$ 为给定常数,$\hat{u}_{0}$、$\hat{u}_{1}$、$g$、$k$、$f$ 为给定函数。在第一部分中,在 $f$ 满足某种局部 Lipschitz 条件下,证明了整体存在唯一性定理。证明基于文献 [10],结合压缩映射定理与标准的密度论证。在第二部分中,在更强的限制条件下,证明了当 $t$ 趋于无穷时,解 $u(t)$ 及其导数 $u_{x}(t)$ 以指数形式衰减到 0。