(1+1)维带拟线性边界条件波动方程的适定性

我们考虑在 $[0, \infty)\times[0, \infty)$ 上的线性波动方程 $V(x) u_{tt}(x, t) - u_{xx}(x, t) = 0$，带有初始条件以及在 $x=0$ 处的非线性诺伊曼边界条件 $u_x(0, t) = (f(u_t(0,t)))_t$。该问题是电动力学中一个非线性麦克斯韦问题的精确约化。在 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 为递增同胚的情形下，我们通过特征线法与不动点方法研究初值问题的整体存在性、唯一性与适定性。我们还证明能量与动量的守恒，并讨论当 $f$ 为递减同胚时为何不存在适定性。最后我们证明，先前已知的带 $x=0$ 处非线性诺伊曼边界条件的波动方程的时间周期、空间局域化解（呼吸子）具有足够正则性，可用其自身初值数据求解初值问题。