不可压自由边界 Euler 方程的尖锐 Hadamard 局部适定性、增强唯一性与点态延拓准则

我们在基于 $H^s$ 的 Sobolev 空间中，针对连通流体域上具零表面张力的自由边界不可压 Euler 方程给出了完整的局部适定性理论。我们的适定性理论包括：(i) Hadamard 意义下的局部适定性，即在低正则 Sobolev 空间中的局部存在性、唯一性，以及首次证明的对数据的连续依赖；(ii) 增强唯一性：我们的唯一性结果在速度的 Lipschitz 范数与自由表面的 $C^{1,\frac{1}{2}}$ 正则性层次上成立；(iii) 稳定性估计：我们构造了一个非线性泛函，以适当意义度量两个解（即使定义在不同区域上）之间的距离，并证明该距离由流传播；(iv) 能量估计：我们依赖于新构造的一族椭圆估计，证明了解精化的、本质尺度不变的能量估计；(v) 延拓准则：我们给出了在物理相关的点态范数下、在尺度层次上的尖锐延拓准则的首次证明。本质上，我们表明只要速度属于 $L_T^1W^{1,\infty}$ 且自由表面属于 $L_T^1C^{1,\frac{1}{2}}$，解便可延拓，这与无边界情形的 Beale-Kato-Majda 准则处于同一层次；(vi) 正则解构造的新证明。我们的整个方法处于 Euler 框架下，并可适用于更一般的流体域。