可压缩弹性动力学自由边界问题的局部适定性与不可压缩极限

我们考虑在 Rayleigh-Taylor 符号条件作用下的三维自由边界可压缩弹性动力学系统。它描述了一个具有移动边界的等熵无粘弹性介质的运动。形变张量满足 neo-Hookean 线性弹性。Trakhinin [84] 通过 Nash-Moser 迭代证明了其局部适定性。在本文中，我们通过结合经典能量方法与双曲方法给出了局部适定性的一个新证明，并建立了不可压缩极限。我们应用切向光滑化方法来定义近似系统。关键的观察是，压力波动方程的结构连同 Christodoulou-Lindblad 椭圆估计将能量估计简化为对切向微分波动方程的控制，尽管源项中可能存在导数损失。我们首先建立了自由边界可压缩弹性动力学系统的无正则性损失的非线性能量估计。该能量估计在声速上也是一致的，从而给出了不可压缩极限。值得强调的是，我们的方法完全适用于可压缩 Euler 方程。我们的观察还表明，即使要求能量在声速上一致，也不必像先前可压缩 Euler 方程的工作（参见 Lindblad-Luo [59] 与 Luo [61]）那样在边界能量中包含完整的时间导数并分析高阶波动方程。此外，通过进一步精细的分析（与 Euler 方程完全不同），对于微可压缩弹性介质仍可恢复 [59,61] 中可压缩 Euler 方程所增强的正则性。