半直线上具有非线性边界条件的非线性薛定谔方程

本文研究半直线上非线性薛定谔方程的初边值问题，其边界条件为非线性类型 $u_x(0,t)+\lambda|u(0,t)|^ru(0,t)=0,$ $\lambda\in\mathbb{R}-\{0\}$, $r> 0$。我们讨论了当初始数据 $u_0=u(x,0)$ 属于基于 $L^2$ 的非齐次索伯列夫空间 $H^s(\mathbb{R}_+)$，其中 $s\in \left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)-\{\frac{3}{2}\}$ 时的局部适定性。我们处理非线性边界条件的方法是首先研究具有时间依赖的非齐次诺伊曼边界条件 $u_x(0,t)=h(t)$ 的线性薛定谔方程，其中 $h\in H^{\frac{2s-1}{4}}(0,T)$。后一问题通过将 Bona-Sun-Zhang \cite{BonaSunZhang2015} 的方法适应于非齐次诺伊曼边界条件的情形来研究。