条形区域上非线性薛定谔方程的非齐次问题

本文研究定义在条形区域 $\mathbb{R}\times[0,1]$ 上、带有非齐次 Dirichlet 边界条件的非线性薛定谔方程的初边值问题。对于任意 $s\ge0$，若初始数据 $\varphi(x,y)$ 属于 Sobolev 空间 $H^s(\mathbb{R}\times[0,1])$，且边界数据 $h(x,t)$ 属于 $${\cal H}^s (\mathbb{R} ) = \left \{ h (x, t) \in L^2 ( \mathbb{R}^2 ) \ \big | \ ( 1 + |\lambda | + |\xi|)^{\frac12} ( 1+ |\lambda | + |\xi |^2 )^{\frac{s}{2}}\hat h ( \lambda, \xi ) \in L^2 (\mathbb{R}^2 ) \right \}$$ 其中 $\hat h$ 是 $h$ 关于 $t$ 和 $x$ 的 Fourier 变换，则证明了该初边值问题在 $C([0,T]; H^s(\mathbb{R} \times [0,1]))$ 中的局部适定性。对于 $s = 1$ 还得到了全局适定性。这里使用的基本思想依赖于非齐次边界数据的积分算子的推导，以及该算子的级数形式 Strichartz 估计的证明。在问题转化为寻找积分算子的不动点后，利用初始和边界算子的 Strichartz 估计，通过压缩映射论证得到不动点。全局适定性则通过解的先验估计证明。