有界区域上 Korteweg-de Vries 方程的一般边值问题

本文研究有限区间上 Korteweg-de Vries 方程的初边值问题 \begin{equation} u_t+u_x+u_{xxx}+uu_x=0,\qquad u(x,0)=\phi(x), \qquad 0<x<L, \ t>0 \qquad (1) \end{equation} 并施加非齐次边界条件 \begin{equation} B_1u=h_1(t), \qquad B_2 u= h_2 (t), \qquad B_3 u= h_3 (t) \qquad t>0 \qquad (2) \end{equation} 其中 $$B_i u =\sum _{j=0}^2 \left(a_{ij} \partial ^j_x u(0,t) + b_{ij} \partial ^j_x u(L,t)\right), \qquad i=1,2,3,$$ 且 $a_{ij}, \ b_{ij}$ $(j,i=0, 1,2,3)$ 为实常数。在对系数 $a_{ij}, \ b_{ij}$, $j,i=0, 1,2,3$ 施加的某些一般假设下，初边值问题 (1)-(2) 被证明在空间 $H^s (0,L)$ 中对任意 $s\geq 0$ 是局部适定的，其中初值 $\phi \in H^s (0,L)$ 且边界值 $h_j, j=1,2,3$ 属于具有最优正则性的适当空间。