半平面上非线性薛定谔方程的非齐次边值问题

本文讨论了在半平面$\mathbb{R} \times \mathbb{R}^+$上提出的、具有非齐次狄利克雷边界条件的非线性薛定谔方程的初边值问题（IBVP）。对于任意给定的$s \ge 0$，如果初始数据$\varphi (x, y)$属于索博列夫空间$H^s(\mathbb{R}\times \mathbb{R}^+)$，且边界数据$h(x, t)$属于引言中定义的最优空间${\cal H}^s(0,T)$（该空间略弱于空间$$H^{(2s+1)/4}_{t} ([0, T]; L_x^2(\mathbb{R} ) ) \cap L^2_t ( [ 0, T]; H^{s+ 1/2} _x ( \mathbb{R} ) )$$），则证明了该IBVP在$C([0, T]; H^s(\mathbb{R}\times \mathbb{R}^+))$中的局部适定性。对于$s = 1$的情况，也讨论了全局适定性。证明的主要思路是为相应的非齐次边界条件导出一个边界积分算子，并获得该算子的Strichartz估计。本文给出的结果适用于在任何$n>1$的半空间$\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^+$上提出的IBVP。