关于耦合三阶非线性薛定谔方程组的周期 Cauchy 问题

我们研究了与如下方程组相关的初值问题 (IVP) 的一些适定性问题：\begin{equation} \{ \begin{array} [c]{l} 2i\partial_{t}u+q\partial_{x}^{2}u+i\gamma\partial_{x}^{3}u=F_{1}(u,w)\\ 2i\partial_{t}w+q\partial_{x}^{2}w+i\gamma\partial_{x}^{3}w=F_{2}(u,w), \end{array} . \end{equation} 其中 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 是涉及 $u$、$w$ 及其导数的三次多项式。该方程组描述了光纤中两个非线性短光脉冲包络 $u(x,t)$ 和 $w(x,t)$ 的动力学 (\cite{31}, \cite{14})。我们证明了数据位于 Sobolev 空间 $H^{s}(\mathbb{T)\times} H^{s}(\mathbb{T)}$ ($s\geq 1/2$) 中的 IVP 的周期局部适定性，以及在 Sobolev 空间 $H^{1}(\mathbb{T)\times }H^{1}(\mathbb{T)}$ 中的全局适定性结果。