与五阶 Korteweg-de Vries 方程相关的初边值问题的局部适定性与正则性

在本工作中，我们证明了五阶 Korteweg-de Vries 方程的初边值问题（IBVP）\begin{align*} \left. \begin{array}{rlr} u_t+\partial_x^5 u+u\partial_x u&\hspace{-2mm}=0,&\quad x\in\mathbb R^+;\ t\in\mathbb R^+,\\ u(x,0)&\hspace{-2mm}=g(x),&\\ u(0,t)=h_1(t),\, \partial_x u(0,t)&\hspace{-2mm}=h_2(t),\,\partial_x^2 u(0,t)=h_3(t), \end{array} \right\} \end{align*} 是局部适定的，其中数据 $g$, $h_1$, $h_2$, $h_3$ 的取值满足 $g\in H^s(\mathbb R_x^+)$, 且 $h_{j+1}\in H^{\frac{s+2-j}5}(\mathbb R_t^+)$, $j=0,1,2$, $s\in [0,\frac{11}4)\setminus \{\frac12,\frac32,\frac52\}$, 并满足以下相容性条件：\begin{align*} g(0)=h_1(0) \text{ if } \frac12<s<\frac32;\\ g(0)=h_1(0),\; g'(0)=h_2(0) \text{ if } \frac32<s<\frac52;\\ g(0)=h_1(0), \; g'(0)=h_2(0),\; g''(0)=h_3(0) \text{ if } \frac52<s<\frac{11}4. \end{align*} 此外，我们证明了解的非线性部分比初始数据 $g$ 更光滑。