一类不适定抛物型方程的网格函数表述

我们研究了具有 Neumann 边界条件的 Neumann 初值问题 \n\begin{equation} \n\begin{array}{rl} u_t(x,t) = \Delta \phi(u(x,t)), & x \in \Omega \subseteq \mathbb{R}^k, \ t \in \mathbb{R} \label{abstract}\\ u(x,0) = u_0(x), & x \in \Omega. \end{array} \n\end{equation} \n的非标准表述。假设函数 $\phi \in C^1(\mathbb{R})$ 在有界区间 $(u^-,u^+)$ 或无界区间 $(u^-,+\infty)$ 内递减：在此假设下，上述问题是不适定的，且仅允许取值于测度的解。此外，此类解通常不唯一。利用非标准分析，我们从非常简单的物理原理出发，导出了该不适定偏微分方程的时间连续、空间离散模型，并证明了该模型是适定的。我们还将证明，该非标准表述的解与取值于测度的解是一致的，并且仍然保留了相关的物理性质，其中最主要的是刻画原问题物理容许解的熵条件。随后，我们研究了非标准解的渐近行为。在此过程中，我们将对 Smarrazzo 关于在 $\phi$ 于区间 $(u^-,+\infty)$ 内递减的假设下不适定问题解的粗化 (coarsening) 猜想给出肯定的回答。