退化抛物型方程解的正则性与几何特征

本文研究了退化抛物型方程$u_{t}=\Delta{}u^{m}$柯西问题解的正则性及其几何意义。我们的主要目标是改进先驱者获得的 H$\ddot{o}$lder 估计，进而展示退化抛物型方程自由边界的几何特征。确切地说，本文将证明：(1) 弱解$u(x,t)\in{}C^{\alpha,\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{+})$，其中当$m\geq2$时$\alpha\in(0,1)$，当$m\in(1,2)$时$\alpha=1$；(2) 曲面$\phi=(u(x,t))^{\beta}$是一个完备黎曼流形，且在$u(x,t)$正集边界处与$\mathbb{R}^{n}$相切。(3) 若$\beta$足够大，函数$(u(x,t))^{\beta}$是另一个退化抛物型方程的经典解；此外，还获得了关于$u(x,t)$传播速度及其对方程非线性连续依赖性的某些显式表达式。回顾旧的 H$\ddot{o}$lder 估计（对所有$m>1$，$u(x,t)\in{}C^{\alpha,\frac{\alpha}{2}}(\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{+})$且$0<\alpha<1$），可见我们的结果 (1) 改进了旧结果，并基于此结论可获得 (2)，从而揭示了自由边界的几何特征。