完全非线性椭圆和抛物型自由边界问题解的正则性

我们考虑如下形式的完全非线性障碍型问题：\begin{equation*} \begin{cases} F(D^{2}u,x)=f(x) & \text{a.e. in}B_{1}\cap\Omega,|D^{2}u|\le K & \text{a.e. in}B_{1}\backslash\Omega, \end{cases} \end{equation*} 其中$\Omega$是未知开集，$K>0$。特别地，我们给出了$F$的结构条件，这些条件确保当$f$ Hölder连续时，$W^{2,n}(B_1)$解在$B_{1/2}$上达到最优$C^{1,1}$正则性。此外，如果$f$在$\overline B_1$上为正、Lipschitz连续，且$\{u\neq 0\} \subset \Omega$，则在$\{u=0\}$的均匀厚度假设下，我们得到自由边界的局部$C^1$正则性。最后，我们将这些结果推广到抛物型情形。