一类完全非线性抛物型方程的自由边界问题

本文考虑如下完全非线性抛物型自由边界问题：$$\left\{\begin{array}{ll} F(D^2u) -\partial_t u=1 & \text{a.e. in}Q_1 \cap \Omega\\ |D^2 u| + |\partial_t u| \leq K & \text{a.e. in}Q_1\setminus\Omega, \end{array} \right.$$其中 $K>0$ 为正常数，$\Omega$ 为（未知）开集。我们的主要结果是该问题解的最优正则性：即我们证明了 $W_x^{2,n} \cap W_t^{1,n}$ 解在 $Q_1$ 内部局部属于 $C_x^{1,1}\cap C_t^{0,1}$。得出此结果的一个关键起点是新型 BMO 型估计，它将 \cite{CH} 中的主要结果推广至抛物型情形。一旦获得 $u$ 的最优正则性，我们在额外条件 $\Omega \supset \{u \neq 0 \}$ 以及重合集 $\{u = 0 \}$ 的一致厚度假设下，也证明了自由边界 $\partial\Omega\cap Q_1$ 的正则性。