向量值 Bernoulli 问题自由边界的正则性

在本文中，我们研究向量值 Bernoulli 问题自由边界的正则性，对边界数据不作符号假设。更确切地说，给定有限测度的开光滑集 $D\subset \mathbb{R}^d$、$\Lambda>0$ 和 $\varphi_i\in H^{1/2}(\partial D)$，我们考虑 $$\min{\left\{\sum_{i=1}^k\int_D|\nabla v_i|^2+\Lambda\Big|\bigcup_{i=1}^k\{v_i\not=0\}\Big|\;:\;v_i=\varphi_i\;\mbox{on }\partial D\right\}}.$$ 我们证明，对任意最优向量 $U=(u_1,\dots, u_k)$，自由边界 $\partial (\cup_{i=1}^k\{u_i\not=0\})\cap D$ 由一个正则部分（相对开且局部为 $C^\infty$ 函数的图）、一个奇异部分（相对闭且 Hausdorff 维数至多为 $d-d^*$，其中 $d^*\in\{5,6,7\}$）以及一个分支（两相）点集（相对闭且 $\mathcal{H}^{d-1}$ 测度有限）组成。我们的论证基于自由边界正则部分的 NTA 结构。