非极小化 Bernoulli 自由边界的可求矩形性、有限 Hausdorff 测度与紧致性

尽管关于 Bernoulli 问题极小元或稳定解的自由边界正则性与奇点分析已有大量结果，但对于对应能量的临界点所知甚少。能量的鞍点（或密切相关能量的鞍点）以及对应时间依赖问题的解自然出现于水波与燃烧理论等应用问题中。对于此类临界点 $u$——其可作为经典解极限或奇异扰动问题极限获得——自 [Weiss03] 以来，除二维情形外，奇异集是否可能很大以及测度 $\Delta u$ 满足何种方程一直悬而未决。在本文结果中，我们运用近期技术（如 Bernoulli 问题的频率公式以及著名的 Naber-Valtorta 程序）以肯定方式回答了这一逾 20 年的问题：对于一类我们称为 Bernoulli 问题变分解的闭类，我们证明拓扑自由边界 $\partial \{u > 0\}$（含退化奇点 $x$，满足 $u(x + r \cdot)/r \rightarrow 0$ 当 $r\rightarrow 0$）是可数 $\mathcal{H}^{n-1}$-可求矩形化的，且具有局部有限的 $\mathcal{H}^{n-1}$-测度，并完整辨识了测度 $\Delta u$。这给出了任意维数下 $u$ 的自由边界比此前（即便在二维下）可得的更精确刻画。我们还证明（未必极小化的）经典解极限以及奇异扰动能量临界点极限均为变分解，从而上述结果直接适用于所有这些对象。