新的离散单调性公式及其在二维两相自由边界问题中的应用

我们继续分析在 \cite{DK} 中 initiated 的两相自由边界问题，在那里我们研究了 Bernoulli 型自由边界问题中极小值子在非平坦点处的线性增长以及相关的自由边界正则性。在那里，我们还定义了泛函 $$\phi_p(r,u,x_0)=\frac1{r^4}\int_{B_r(x_0)}\frac{|\nabla u^+(x)|^p}{|x-x_0|^{N-2}}dx\int_{B_r(x_0)}\frac{|\nabla u^-(x)|^p}{|x-x_0|^{N-2}}dx$$ 其中 $x_0$ 是自由边界点，即 $x_0\in\partial\{u>0\}$，且 $u$ 是泛函 $$J(u):=\int_{\Omega}|\nabla u|^p +\lambda_+^p\,\chi_{\{u>0\}} +\lambda_-^p\,\chi_{\{u\le 0\}},$$ 的极小值子，此处 $\Omega\subset {\mathbb R}^N$ 是有界光滑区域，$\lambda_\pm$ 为正常数且 $\Lambda:=\lambda_+^p-\lambda^p_->0$。在此，我们证明了当 $p$ 充分接近 2 时，$\phi_p(r,u,x_0)$ 在二维空间中非平坦点处的离散单调性，进而确立了线性增长。我们方法的一个新特点是第 4 节讨论的各向异性尺度论证。