有限莫尔斯指数非线性自由边界问题正则性的几何方法

设 $u$ 是自由边界问题 $$\mathcal L u=\lambda_0 \mathcal H^1\lfloor\partial\{u>0\}, u\ge 0,$$ 的弱解，其中 $\mathcal L u={\text{div}}(g(\nabla u)\nabla u)$ 是拟线性椭圆算子，$g(\xi)$ 是满足某些结构条件的给定 $\xi$ 的函数。我们证明若 $\partial\{ u>0\}$ 具有局部有限连通性，则自由边界 $\partial\{ u>0\}$ 在 $\mathbb R^2$ 中连续可微。此外，我们证明具有有限$\it{Morse \ index}$的弱解的自由边界必然具有有限连通性。该弱解是Alt-Caffarelli型泛函 $J[u]=\int_{\Omega}F(\nabla u)+Q^2\chi_{\{ u>0\}}$ 的局部Lipschitz连续且非退化驻点。即使在最简单情形 $g(\xi)=|\xi|^{p-2}, p>1$ 下，自由边界的完全正则性也未完全理解，部分原因是经典情形 $p=2$ 的方法无法推广到完整的 $p$ 范围。然而，我们的方法极具几何性，甚至对一大类非线性 $F$ 下泛函 $J[u]$ 的$stationary\ points$ (驻点)也适用。