半线性系统中自由边界的高阶正则性

本文研究椭圆组 $$\Delta\mathbf{u}= |\mathbf{u}|^{q-1}\mathbf{u}\chi_{\{|\mathbf{u}|>0\}},\qquad\mathbf{u}=(u^1,\dots,u^m)$$ 在 $0\leq q<1$ 时的自由边界高阶正则性性质。我们证明了自由边界 $\partial\{|\mathbf{u}|>0\}$ 正则部分的分析性，以及 $|\mathbf{u}|^{\frac{1-q}2}$ 和 $\frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|}$ 直至自由边界正则部分的分析性。应用部分 hodograph-Legendre 变换与隐函数定理的一种变体，我们得到一个退化方程，这带来了需要处理的大量挑战。在研究过程中，我们还建立了一个 Cauchy-Kowalevski 型结论，以证明当自由边界以及 $\frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|}$ 从两侧到自由边界的限制作为分析数据给定时，解的局部存在性。