椭圆 Signorini 问题中自由边界的高阶正则性

本文研究椭圆 Signorini 问题中自由边界的高阶正则性。通过使用部分 hodograph-Legendre 变换，我们证明自由边界的正则部分是实解析的。研究中的第一个复杂之处是 hodograph 变换的可逆性（仅为 $C^{0,1/2}$），这可以通过研究解在正则自由边界点附近的精确渐近行为来克服。研究中的第二个也是主要的复杂之处在于 Legendre 变换所满足的方程是退化的。然而，该方程具有次椭圆结构，可被视为 Baouendi-Grushin 算子的微扰。利用该算子可用的 $L^p$ 理论，我们可以将 Legendre 变换的正则性逐步提升至实解析性，从而蕴含自由边界的实解析性。