半线性非局部椭圆方程解的尖锐边界行为

我们研究了半线性扩散方程 $\mathcal{L} u= f(u)$ 的非负解 $u(x)\ge 0$ 的定量性质，该方程置于有界域 $\Omega\subset {\mathbb R}^N$ 中，并带有适当的齐次狄利克雷或外部边界条件。算子 $\mathcal{L}$ 可以属于一类相当广泛的线性算子，包括标准拉普拉斯算子、在有界域中带有零狄利克雷条件的分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^s$ ($0<s<1$) 的两种最常见定义，以及许多其他非局部版本。非线性项 $f$ 是递增的，且形如幂函数 $f(u)\sim u^p$，其中 $p\le 1$。本文旨在基于一种新的迭代过程展示尖锐的定量边界估计。我们还证明了，在内部，解是 Hölder 连续的，甚至是经典的（当算子允许时）。此外，我们得到了直至边界的 Hölder 连续性。特别有趣的是当数值 $\frac{2s}{1-p}$ 低于对应于第一特征函数 $\mathcal{L}\Phi_1=\lambda_1 \Phi_1$ 的 Hölder 正则性的指数 $\gamma \in(0,1]$ 时解的行为。实际上，边界正则性在 $\frac{2s}{1-p} \gtreqqless \gamma$ 的不同区域中发生了变化，特别是在“临界”情况 $\frac{2s}{1-p} = \gamma$ 下会出现对数修正。例如，在谱分数阶拉普拉斯算子的情况下，这种令人惊讶的边界行为出现在 $0<s\leq \frac{1-p}{2}$ 的范围内。