分数多孔介质型方程的精确边界估计与 Harnack 不等式

本文针对非线性分数阶扩散方程 $$\partial_t u +{\mathcal L} F(u)=0,$$ （也称为渗流方程，设定在光滑有界域 $x\in \Omega \subset {\mathbb R}^N$ 中并带有适当的齐次 Dirichlet 边界条件）的非负解 $u(t,x)\geq 0$，提供了精确的定量和构造性估计。算子 ${\mathcal L}$ 和非线性项 $F$ 均属于一般类别。对 ${\mathcal L}$ 的假设是根据 ${\mathcal L}$ 和/或 ${\mathcal L}^{-1}$ 的核给出的，并允许算子在 $\Omega$ 的边界上具有退化核。${\mathcal L}$ 的主要例子是有界域上三种不同的 Dirichlet 分数拉普拉斯算子，非线性项可以是非齐次的，例如 $F(u)=u^2+u^{10}$。先前的结果已知存在于多孔介质情形，即 $F(u)=|u|^{m-1} u$ 且 $m>1$。我们在此的目标是迈出下一步：通过定量的、构造性的和精确的先验估计对正则性进行精细分析。我们的主要结果是全局 Harnack 型不等式 $$H_0(t,u_0)\, {\rm dist}(x, \partial \Omega)^a\leq F(u(t,x))\leq H_1(t)\, {\rm dist}(x, \partial \Omega)^b\qquad\forall (t,x)\in (0,\infty)\times \overline{\Omega},$$ 其中 $H_0, H_1$ 和 $a,b$ 的表达式是显式的，并且可能根据 ${\mathcal L}$ 和 $F$ 发生变化。这些估计的精确性通过例子和反例得到了证明：一方面，当算子具有非退化核时，我们可以匹配幂次（即 $a=b$）。另一方面，当 ${\mathcal L}$ 具有在边界 $\partial\Omega$ 处退化的核时，会出现一种有趣的反常边界行为：初始数据的大小决定了解的精确边界行为，这对于“小”和“大”初始数据是不同的。我们在论文最后给出了更高阶的正则性结果。