有界域上分数非线性退化扩散方程的先验估计

我们研究了在有界域 $x\in\Omega\subset {\mathbb R}^N$ 中提出的非线性分数扩散方程 $\partial_t u + {\mathcal L} (u^m)=0$ 的非负解 $u(t,x)\ge 0$ 的定量性质，其中 $m>1$ 且 $t>0$。作为 ${\mathcal L}$，我们使用了有界域中具有零 Dirichlet 边界条件的分数阶 Laplacian $(-\Delta)^s$ ($0<s<1$) 的最常见定义之一。我们考虑该类方程的一类非常弱解，并获得形式为平滑效应、绝对上界、下界和 Harnack 不等式的先验估计。我们还研究了边界行为，并获得了尖锐的上下界估计。标准 Laplacian 情形 $s=1$ 或线性情形 $m=1$ 可作为极限情况恢复。该方法具有相当的通用性，适用于许多类似问题。