极快扩散方程的正性、局部光滑性与 Harnack 不等式

我们研究快扩散方程 $\partial_t u =\Delta (u^m)/m$（其中 $m<1$）局部解 $u(t,x)\ge 0$ 的定性性质，该方程对应于一般的非负初始数据。我们的主要结果是针对形如 $[0,T]\times\RR^d$ 的域中定义的局部解给出的定量正性和有界性估计。这些结果结合形成了快扩散方程特有的新型 Harnack 不等式形式。此类结果对于所谓的极快扩散范围中的低 $m$ 值是新的，确切地说是对于所有 $m\le m_c=(d-2)/d$。有界性陈述即使对于 $m\le 0$ 也成立，而正性陈述在该范围内则不成立。