光滑度量测度空间上非线性缓慢扩散方程的 Li-Yau 估计与 Harnack 不等式

我们提出了关于正解的非线性缓慢扩散方程的新的梯度估计和 Harnack 不等式。框架是光滑度量测度空间 $(\mathscr{M},g,d\mu)$ ，其中带权测度为 $d\mu=e^{-\phi} dv_g$ ，扩散算子为 $\Delta_\phi=e^\phi {\rm div} (e^{-\phi} \nabla)$ ——即 $\phi$ -拉普拉斯算子。非线性缓慢扩散方程，对 $x \in \mathscr{M}$ 和 $t>0$ ，以及固定指数 $p>1$ ，形式为 \begin{equation*} \partial_t u (x,t) - \Delta_\phi u^p (x,t) = \mathscr{N} (t,x,u(x,t)). \end{equation*} 我们假设度量张量 $g$ 和势函数 $\phi$ 随时间变化；因此通常的度量和势相关微分算子及曲率张量也随之变化。需在自然的 Bakry-\'Emery $m$ -Ricci 曲率张量和度量张量时间导数上的自然下界下建立这些估计。几何、非线性与演化之间的奇妙相互作用及其对估计的影响是本次调查的中心。本文中的结果显著扩展并改进了先前关于缓慢扩散方程的早期结果。提出并讨论了若干含义、特殊情况和推论。