多孔介质型非局部（及局部）方程的稳健数值方法：第一部分：理论

我们发展了一个统一且易用的框架，用以研究非线性退化扩散方程 $$\partial_t u-\mathfrak{L}^{\sigma,\mu}[\varphi(u)]=f \quad\quad\text{in}\quad\quad \mathbb{R}^N\times(0,T),$$ 的稳健全离散数值方法，其中 $\mathfrak{L}^{\sigma,\mu}$ 为一般的 Lévy 型对称扩散算子，而 $\varphi$ 仅为连续且非减函数。我们随后运用该理论证明众多不同数值格式的收敛性。在非局部情形中，多数结果皆为全新。我们的理论涵盖强退化 Stefan 问题、全部范围的多孔介质方程，并且首次针对非局部问题亦涵盖快扩散方程。扩散算子 $\mathfrak{L}^{\sigma,\mu}$ 的实例包括（分数阶）Laplacian $\Delta$ 与 $-(-\Delta)^{\frac\alpha2}$（$\alpha\in(0,2)$）、离散算子及其组合。单调有限差分算子是是非局部 Lévy 算子这一观察，使我们能为局部与非局部、线性与非线性扩散方程给出一个统一而紧凑的{\em 非局部}理论。该理论在极小假设（包括导致极不规则解的假设）下包含了方法的稳定性、紧致性与收敛性。作为副产物，我们证明了 \cite{DTEnJa17b} 中宣布的新的通用存在性结果。我们也给出了若干数值试验，但详尽测试连同对我们理论中所含数值方法的更细致讨论，将推迟至配套论文 \cite{DTEnJa18b}。