多孔介质型非局部（及局部）方程的鲁棒数值方法。第二部分：格式与实验

我们开发了一个统一且易用的框架，用于研究非线性退化扩散方程的鲁棒全离散数值方法 $$\partial_t u-\mathfrak{L}[\varphi(u)]=f(x,t) \qquad\text{in}\qquad \mathbb{R}^N\times(0,T),$$ 其中$\mathfrak{L}$是一个一般的对称Lévy型扩散算子。所包含的问题既有局部也有非局部，例如$\mathfrak{L}=\Delta$或$\mathfrak{L}=-(-\Delta)^{\frac\alpha2}$，$\alpha\in(0,2)$，以及多孔介质、快扩散和Stefan型非线性$\varphi$。所谓鲁棒方法，是指即使在非光滑解下且对数据作极弱假设时它们仍收敛。我们证明它们在$p\in[1,\infty]$下是$L^p$-稳定的、紧的，并且在$p\in[1,\infty)$下于$C([0,T];L_{\text{loc}}^p(\mathbb{R}^N))$中收敛。本项目的第一部分见\cite{DTEnJa18a}，其中包含统一且易用的理论框架。本文致力于格式与测试。我们研究了众多不同的问题和许多不同的具体离散化，证明\cite{DTEnJa18a}的结果适用并进行了数值测试。我们的例子包括不同阶的分数阶扩散，以及Stefan问题、多孔介质和快扩散非线性。大部分收敛结果和许多格式对于该方程的非局部版本而言完全是新的，包括关于高阶方法、离散拉普拉斯算子幂次方法和快扩散离散化的结果。部分结果和格式即便对于线性和局部问题也是新的。