一类带乘性噪声的非线性随机波动方程的有限元逼近

波传播问题在物理与工程中有许多应用，由于介质的不确定性，随机效应在精确建模中十分重要。本文考虑并分析了一类非线性随机波动方程的全离散有限元方法，其中扩散项全局Lipschitz连续，而漂移项仅满足如[11]中较弱的条件。本文的新颖之处有三方面。首先，若采用原始形式的数值格式，误差估计无法直接得到。我们引入了混合形式的数值格式，并证明了强解的若干Hölder连续性结果，用于建立$L^2$范数与能量范数下的误差估计。其次，提出了两类非线性项的离散化以建立离散解的$L^2$稳定性与能量稳定性结果。这两类离散化与恰当的测试函数旨在克服由随机时间尺度问题与非线性相互作用带来的挑战。这些稳定性结果在证明误差估计成立集合的概率趋于一时起关键作用。第三，基于能量论证及方法潜在的能量衰减性质，证明了离散解的高阶矩稳定性结果。数值实验也展示了离散解的稳定性结果及各范数下的收敛阶。