带加性噪声的随机 Allen-Cahn 方程 Galerkin 有限元方法的最优误差估计

在空间维数 $d \leq 3$ 下由加性噪声驱动的随机 Allen-Cahn 方程，我们分析了有限元半离散与时空全离散的强逼近误差。全离散通过标准有限元方法与向后欧拉时间步进格式相结合来实现。与全局 Lipschitz 情形不同，由于底层模型中存在三次非线性，误差分析变得相当困难且要求很高。通过引入两个辅助逼近过程，我们提出了对所考虑误差项的适当分解，并引入一种新颖的误差分析方法，成功恢复了数值格式的收敛速率。该方法是原创的，且不依赖于逼近过程的高阶空间正则性性质。结果表明，在全离散格式在空间上具有 $O(h^{\gamma} )$ 阶、时间上具有 $O( \tau^{ \frac{\gamma}{2} } )$ 阶的收敛速率，这取决于噪声过程的空间相关性，其特征为 $\|A^{\frac{\gamma-1}2}Q^{\frac12}\|_{\mathcal{L}_2}<\infty, \, \gamma \in[\frac d3,2]$, $d\in\{1,2,3\}$。特别地，当上述条件以 $\gamma = 2$ 满足时，即便在多维空间中也可达到 $O(h^2 +\tau)$ 的经典收敛速率。数值算例证实了前述发现。