非全局 Lipschitz 系数的 SPDEs 长期误差分析
数值分析
2026-03-25 v1 数值分析
摘要
本文提出了用于长期近似具有非全局 Lipschitz 系数的随机偏微分方程（SPDEs）的新型全离散方案，其在有界域 D ⊂ R^d（d=1,2,3）中进行。引入了一种新型的线性隐式时间步进方案，基于标准的 Galerkin 有限元空间半离散化。该方案的一个显著特点是，其有限元全离散近似在 Banach 空间 L^r(D) 中保持 uniform-in-time moment 界限，且不要求时间空间离散步骤大小比例受限。为证明这一点，发展了一些非标准论证方法。首先，推导了关于具有非光滑初始值的确定性线性抛物方程在 Banach 空间 L^r(D) 中的长期误差估计，这在数值 PDE 文献中据我们所知是新的，并且具有独立的兴趣。这些误差估计以及 L^r(D)（r>2）中半群的收缩性、非线性的耗散性以及捕捡策略的特殊优势，有助于我们建立所需的 uniform-in-time moment 界限。随后，仔细分析了所提出方案的强误差和弱误差界限，在低正则性情形下，获得了空间-时间白噪声和迹类噪声情形下的 uniform-in-time 收敛率。由于有限元离散化、低正则性以及超线性非线性的存在，这一分析极其非平凡。最后，给出数值结果以验证上述理论发现。
引用
@article{arxiv.2603.23167,
title = {Long-time error analysis of finite element fully discrete schemes for SPDEs with non-globally Lipschitz coefficients},
author = {Ruisheng Qi and Xiaojie Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.23167},
year = {2026}
}