一类带乘性噪声半线性随机偏微分方程的高阶时间离散方法

本文考虑了一类带乘性噪声的半线性随机偏微分方程（SPDEs）在时间半离散与空间离散的新方法。SPDEs 的漂移项仅假设满足单边 Lipschitz 条件，扩散项假设为全局 Lipschitz 连续。我们时间离散的新策略基于随机微分方程中的 Milstein 方法。我们采用能量法对其进行误差分析，并证明了近似解的强收敛阶接近 $1$。证明基于 SPDE 解与非线性项新的 H"older 连续性估计。对于一般的多项式型漂移项，即便推导数值解的稳定性也存在困难。我们提出一种基于插值有限元方法的空间离散以克服这些困难。随后，利用数值与随机技术，我们得到了 $H^1$ 稳定性、高阶矩 $H^1$ 稳定性、$L^2$ 稳定性和高阶矩 $L^2$ 稳定性结果。因此，通过耦合所有前述结果，获得了时间与空间上近乎最优的收敛阶。数值实验用于实现所提数值格式并验证理论结果。