带乘性噪声的随机 Cahn-Hilliard 方程混合有限元方法分析

本文提出并分析了一种带插值算子的全离散有限元格式，用于求解泛函型噪声的随机 Cahn-Hilliard 方程。非线性项满足单边 Lipschitz 条件，扩散项全局 Lipschitz 连续。本文的新颖性有三方面。首先，证明了所提格式的 $L^2$-稳定性（时间上 $L^\infty$）和离散 $H^2$-稳定性（时间上 $L^2$）。其思想是利用非线性项组装矩阵的特定结构。由于非线性和乘性噪声相互作用带来的困难，现有文献中全隐式格式均未证明这些稳定性结果。其次，基于前述稳定性结果建立了离散解在 $L^2$-范数下的高阶矩稳定性。第三，在强解的最小假设下建立了强解的时间 Hölder 连续性。在此基础上，讨论了强收敛的离散 $H^{-1}$-范数。还给出了包括稳定性和收敛性在内的若干数值实验以验证我们的理论结果。