Cahn--Hilliard 交叉扩散模型在淋巴管生成中的全离散格式的误差分析

本文提出了一种用于 Cahn--Hilliard 交叉扩散模型的稳定化有限元格式，该模型以强耦合迁移率、非线性扩散和复杂的交叉扩散项为特征。这些特性带来了显著的分析和计算挑战，特别是交叉扩散的去稳定化效应以及标准结构性质的缺失。为解决这些问题，我们建立了离散能量稳定性并证明了所提格式有限元解的存在性。本工作的一个关键贡献是利用新颖的 $L^{\frac{4}{3}}(0,T; L^{\frac{6}{5}}(\Omega))$ 范数对化学势进行严格误差估计的推导。这使得我们能够进行全面收敛性分析，在 $L^{\infty}(H^1(\Omega))$ 和 $L^{\infty}(L^2(\Omega))$ 范数下推导误差估计，并在 $L^{\frac{4}{3}}(0,T; W^{1,\frac{6}{5}}(\Omega))$ 范数下建立数值解的收敛性。此外，收敛性分析依赖于形式为 $\sum_{k=0}^n\tau\|\nabla(\cdot)\|_{L^{\frac{6}{5}}}^{\frac{4}{3}}$ 的一致有界性来控制化学势，这与 Cahn--Hilliard 型模型中常用的经典 $\sum_{k=0}^n\tau\|\nabla(\cdot)\|_{L^{2}}^{2}$ 估计明显不同。我们的方法建立并扩展了现有框架，有效应对了交叉扩散效应和缺乏一致估计所带来的挑战。数值实验验证了理论结果，并展示了该格式捕捉与 Cahn--Hilliard 方程一致的相分离动力学的能力。