Hele-Shaw 流的 Darcy-Cahn-Hilliard 扩散界面模型及其全离散有限元逼近分析

本文对由 Darcy 方程和 Cahn-Hilliard 方程组成的偏微分方程（PDE）系统进行了 PDE 和有限元分析，该系统作为两相 Hele-Shaw 流的扩散界面模型出现。我们提出了一种用于逼近该 PDE 系统的全离散隐式有限元方法，该方法由用于时间离散的隐式 Euler 方法结合凸分裂能量策略、压力的标准有限元离散以及四阶 Cahn-Hilliard 方程的分裂（或混合）有限元离散组成。研究表明，所提出的数值方法满足质量守恒定律以及一个离散能量定律，该定律模仿了 Darcy-Cahn-Hilliard 相场模型的基本能量定律，并在相场参数 $\epsilon$ 下一致成立。借助该离散能量定律，我们首先证明了全离散有限元方法是无条件能量稳定的，并且在每个时间步上唯一可解。然后，我们利用紧性方法证明了有限元解具有一个聚点，该聚点是 PDE 系统的一个弱解。因此，该收敛结果也为 Darcy-Cahn-Hilliard 相场模型在二维和三维中存在全局时间弱解提供了一个构造性证明。最后，我们提出了一种非线性多重网格迭代算法来求解每个时间步的有限元方程。基于将所提出的有限元离散与非线性多重网格求解器相结合的整体求解方法，给出了数值实验，以验证理论结果并展示所提出的全离散有限元方法逼近 Darcy-Cahn-Hilliard 相场模型的有效性。