模拟聚合物凝胶溶胀动力学微分方程组的全离散有限元方法分析

本文旨在发展和分析一些用于模拟机械约束下聚合物凝胶溶胀动力学的位移-压力模型的全离散有限元方法。在该模型中，溶胀动力学由溶剂渗透和弹性相互作用控制；渗透由溶剂的压力方程描述，弹性相互作用由凝胶固体网络的位移方程描述。通过引入“弹性压力”，我们首先给出原始模型的重新表述，然后提出一个时间步进方案，该方案在每个时间步将偏微分方程组解耦为两个子问题：一个是位移向量场的广义Stokes问题，另一个是“伪压力”场的扩散问题。为了使这种多物理方法可行，发现允许的约束以解决两个子问题的唯一性问题至关重要。所提出方法的主要优点是，它允许利用任何收敛的Stokes求解器和任何收敛的扩散方程求解器来求解聚合物凝胶模型。本文以Taylor-Hood混合有限元方法结合连续线性有限元方法为例，阐述思想并证明所提出的多物理方法的可行性。证明表明，在网格约束下，所提出的半离散（空间）和全离散方法都满足一些离散能量律，这些能量律模仿了偏微分方程解所满足的微分能量律。为半离散和全离散方法的数值解建立了各种范数下的最优阶误差估计。还给出了数值实验以展示所提出方法和方案的有效性。