Stokes 方程的超收敛与无散度混合有限元方法

本文发展了用于 Stokes 方程的无散度混合有限元方法。采用满足 H(div) 条件的速度场和不连续的压力场，可确保速度-压力配对满足无下界条件，并实现点态无散度速度。然而，这种选择使得向量拉普拉斯算子的离散化变得困难。灵感来自具有应力的质量守恒混合公式，引入切向-法向连续无迹张量元素来离散化向量拉普拉斯。随后证明了应力空间与速度空间之间弱散度算子的无下界条件。该方案具有两个关键特性。首先，应力-速度无下界稳定性使得向量拉普拉斯的数值离散无需额外的稳定处理，不同于不可积元或虚拟积元方法。其次，若应力场在离散无散度速度空间下分布式无散度，则在连续无散度速度空间下也分布式无散度。这一特性解耦了应力与速度误差，导致超收敛现象。因此，为应力、速度和压力均获得最优阶误差估计。数值实验验证了理论结果。