用于不可压缩流的具有松弛 H(div)-协调性的混合间断伽辽金方法（第一部分）

我们提出一种用于斯托克斯方程的新离散方法。该方法基于 $H(\operatorname{div})$-协调有限元空间和粘性力的混合间断伽辽金(HDG)格式，是近期文献[C. Lehrenfeld, J. Sch\"oberl, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 361 (2016)]中方法的改进版。 $H(\operatorname{div})$-协调性带来了诸如逐点无散度解和压力鲁棒性等良好性质。然而，对于多项式次数 $k$ 的速度近似，它要求网格每个面片上具有次数 $k$ 的未知量。考虑到其他 HDG 方法的超收敛性质（仅需面片上次数 $k-1$ 的未知量即可获得 $k$ 阶精确多项式近似，可能经过局部后处理），这是次优的。本文的核心思想是略微松弛 $H(\operatorname{div})$-协调性，使得法向连续性仅涉及多项式次数 $k-1$ 的未知量。这也使得该方法在超收敛 HDG 方法意义上达到最优。为了不丢失 $H(\operatorname{div})$-协调性的优势，我们引入一种廉价的重构算子，其恢复了压力鲁棒性和逐点无散度解，并很好地适配于松弛 $H(\operatorname{div})$-协调性的有限元空间。我们给出了这一新方法，进行了细致的 $h$-版本误差分析，并通过数值算例展示了该方法的性能。