一种用于不可压 Navier-Stokes 方程且边界处高阶精度的分裂步有限元方法

本文描述了一种高效且精确的有限元算法，用于不可压 Navier-Stokes（INS）方程的数值求解。该新算法在速度-压力重构下求解 INS 方程，基于分裂步格式与标准有限元方法相结合。用于算法时间离散的分裂步格式将压力更新与速度变量求解完全分离。当压力方程显式形成时，算法避免求解鞍点问题；因此，我们的算法在选取有限元空间上更具灵活性。为效率与鲁棒性，速度与压力均使用同阶 Lagrange 有限元。受一种以超收敛误差估计计算有限元解导数的后处理技术启发，我们在离散层面对压力方程提出了一种替代数值边界条件。这一可视为对相容边界条件更好实现的新型数值压力边界条件，改善了压力解的边界层误差。我们使用均匀网格上的简化模型问题进行法向模态分析，以展示方法的数值性质。使用 $\mathbb{P}_1$ 元的收敛性研究证实了分析结果，并表明带新数值边界条件的算法在速度与压力上均达到边界处最优二阶精度。我们还计算了基准问题并与已有研究仔细比较。最后，作为说明我们的方法易于适配高阶有限元的例子，我们使用 $n\geq 1$ 的 $\mathbb{P}_n$ 有限元求解经典的绕圆柱流动问题。