Cahn-Hilliard-Stokes-Darcy 系统解耦数值格式的误差估计

我们分析了一个用于模拟耦合自由流与多孔介质中两相流的 Cahn-Hilliard-Stokes-Darcy 系统的全离散有限元数值格式。为避免 Cahn-Hilliard 方程与流体运动耦合所带来的著名困难，我们在数值格式中采用算子分裂，使这两个求解器解耦，从而大幅提高计算效率。唯一可解性与能量稳定性已在~\cite{CHW2017} 中证明。本文中，我们对全离散有限元格式进行了详细的收敛分析与误差估计，从而在能量范数下建立了最优收敛阶：即相变量的 $\ell^\infty (0, T; H^1) \cap \ell^2 (0, T; H^2)$ 范数，以及速度变量的 $\ell^\infty (0, T; H^1) \cap \ell^2 (0, T; H^2)$ 范数。此种能量范数误差估计导致与对流部分相关的非线性误差项相消，这成为通过分析的关键一步。此外，相变量数值解的离散 $\ell^2 (0;T; H^3)$ 界在误差估计中起重要作用，这是通过有限元设置下 Gagliardo-Nirenberg 不等式的离散版本实现的。