二阶时准精确数值格式Flory-Huggins-Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统收敛性分析

本文对一种二阶时间精度、全离散有限差分格式进行最优收敛率分析，该格式用于Cahn-Hilliard-Navier-Stokes (CHNS) 系统，结合对数Flory-Huggins能势。该数值格式已有文献提出，关于对数项参数的正性保持性以及总能量稳定性已得到理论证明。本文严格证明了该数值格式在时间和空间上的二阶收敛。由于CHNS为耦合系统，由于缺乏正则性无法轻易推导标准的 $\ell^\infty (0, T; \ell^2) \cap \ell^2 (0, T; H_h^2)$ 误差估计。相反，针对相变量的 $\ell^\infty (0, T; H_h^1) \cap \ell^2 (0, T; H_h^3)$ 误差分析以及针对速度矢量的 $\ell^\infty (0, T; \ell^2)$ 分析，其正则性与能量估计一致，更适合进行与耦合物理过程相关误差项的非线性分析。此外，由于对数误差项高度非线性和奇异，收敛性分析更加具有挑战性，因为需要数值解与奇异极限值之间保持均匀距离才能进行误差估计。必须进行许多高度非标准估计，例如数值解的高阶渐近展开（在时间上达到三阶精度，空间上达到四阶精度），结合粗糙误差估计（用于建立相变量的最大范数界），以及精细误差估计，以得出所需的收敛结果。