非光滑初始值在临界空间下的二维Navier--Stokes方程数值分析

本文关注二维Navier--Stokes（NS）方程的数值求解，涉及非光滑初始数据在 $L^2$ 空间中的情况，这是二维NS方程良好存在性的临界空间。在这种情况下，NS方程的解在 $t=0$ 处表现出某些奇异性，例如当 $s>0$ 时，解的 $H^s$ 范数会随着 $t\rightarrow 0$ 而发散。迄今为止，文献中已证明的最佳收敛结果是对于半隐式Euler时间步进方案和求解无散度有限元（甚至是高阶有限元）在时间和空间上的一阶精度，而数值结果表明在时间和空间上可能实现二阶收敛。因此，在 $L^2$ 初始数据下的NS方程数值分析与数值计算之间仍存在差距。实现高阶收敛的主要挑战在于由于初始条件的粗糙性以及方程的非线性，导致解的正则性不足。在本文中，我们提出了一种全离散数值方案，利用Taylor--Hood 或 Stokes-MINI 有限元方法进行空间离散化，并结合分段梯形步长的隐式-显式 Runge--Kutta 时间步进方法。通过运用离散半群技术、锐利的正则性估计、负范数估计以及对无散度 Raviart--Thomas 元素空间的 $L^2$ 投影，我们证明了所提出的方案在空间和时间上均实现二阶收敛。数值实例用于支持理论分析。特别是，即使使用更高阶的有限元，空间收敛阶数也最多为二阶。这表明本文所证明的收敛阶数的尖锐性。