二维随机 Navier--Stokes 方程输运噪声情形的数值分析：规律性与空间半离散

本文在二维随机 Navier--Stokes 系统（带输运噪声，无-slip 边界条件）上建立空间有限元离散的强收敛阶数。主要挑战源于解 lacking 对空间 $D(A)$-规律性（其中 $A$ 为 Stokes 算子），其阻止了标准误差分析技术的适用。若满足小噪声假设，我们证明弱解满足 $$u \in L^2\bigl(\Omega; C([0,T]; \dot{H}_{\sigma}^{\varrho}) \cap L^2(0,T; \dot{H}_{\sigma}^{1+\varrho})\bigr)$$ 其中 $\varrho \in (0,\tfrac{1}{2})$。为解决数值分析中的低规律性，我们引入新型平滑算子 $J_{h,\alpha} = A_h^{\alpha}\mathcal{P}_h A^{-\alpha}$，其中 $\alpha \in (0,1)$，$A_h$ 为离散 Stokes 算子，$\mathcal{P}_h$ 为离散 Helmholtz 投影。该工具使我们能够对 MINI 元空间半离散完成误差分析，得到均方收敛估计 $$\|u - u_h\|_{L^2(\Omega; C([0,T]; L^2(\mathcal O;\mathbb{R}^2)))} + \|\nabla(u - u_h)\|_{L^2(\Omega \times (0,T); L^2(\mathcal{O};\mathbb{R}^{2\times2}))} \leqslant c\, h^{\varrho} \log\big(1 + \frac{1}{h}\big).$$ 该框架可推广至更广泛的随机流体模型，涉及粗糙噪声和 Dirichlet 边界条件。