随机 Stokes 方程有限元方法的最优分析

尽管对应的确定性方程已得到充分研究,随机 Stokes 方程的数值分析仍然具有挑战性。特别地,已有的随机 Stokes 方程有限元方法在 $L^\infty(0, T; L^2(\Omega; L^2))$ 范数下的误差估计均存在空间离散阶的降阶现象。这些全离散格式所得的最佳收敛结果仅为时间半阶和空间一阶,按传统意义在空间上并非最优。本文的目标是建立速度逼近在 $L^\infty(0, T; L^2(\Omega; L^2))$ 范数下 $O(\tau^{1/2}+ h^2)$ 的强收敛,以及压力时间积分逼近在 $L^{\infty}(0, T;L^2(\Omega;L^2))$ 范数下 $O(\tau^{1/2}+ h)$ 的强收敛,其中 $\tau$ 和 $h$ 分别表示时间步长和空间网格尺寸。该误差估计对本文所考虑的空间离散(MINI 元)是最优阶的,并与数值实验一致。分析基于全离散 Stokes 半群技术及其相应的新估计。