带对数势的泛函化Cahn-Hilliard方程的一种唯一可解、保正且无条件能量稳定的数值格式

我们提出并分析了一种针对带对数Flory-Huggins势的泛函化Cahn-Hilliard（FCH）方程的一阶有限差分格式。该半隐式数值格式基于FCH自由能的合适凸-凹分解而设计。我们证明了该数值算法的唯一可解性，并验证了其在时间步长无任何限制下的无条件能量稳定性。得益于Flory-Huggins势中对数部分在纯态$\pm 1$附近的奇异性，我们在理论层面建立了相函数的所谓保正性质。因此，数值解在点态意义上永远不会达到奇异值$\pm 1$，且全离散格式在每一步均有定义。接下来，我们给出详细的 optimal 速率收敛分析，并在线性加密要求$\Delta t\leq C_1 h$下导出$l^{\infty}(0,T;L_h^2)\cap l^2(0,T;H^3_h)$中的误差估计。为实现该目标，利用基于Fourier投影的高阶渐近展开（直至二阶时间与空间精度）来控制数值格式解的差分最大范数。我们表明，若连续问题的精确解与纯态$\pm 1$严格分离，则数值解可保持与$\pm 1$相距一个正距离，该距离关于时间步长与网格尺寸是一致均匀的。最后，给出了若干数值实验。进行了收敛性测试以展示所提数值格式的精度与鲁棒性。在数值模拟中观察到了珠链分岔、蜿蜒失稳与旋节线分解现象。