带对数势的 Cahn-Hilliard 方程预处理最速下降求解器的收敛性分析

本文对一种预处理最速下降 (PSD) 迭代求解器进行了理论分析，该求解器改进了具有 Flory-Huggins 能量势的 Cahn-Hilliard 方程有限差分数值格式的计算时间。在数值设计中，对化学势应用凸分裂方法，使得对数项和表面扩散项隐式处理，而膨胀凹项则显式更新。对数能量势的非线性和奇异性使得数值实现极具挑战性。然而，近期工作已建立对数参数的正性保持性质、无条件能量稳定性和最优速率误差估计，并表明成功的求解器需在每个迭代阶段确保类似的正性保持性质。因此，在本工作中，我们将证明 PSD 求解器能在每个迭代阶段确保正性保持性质。PSD 求解器首先计算一个搜索方向（涉及求解一个类泊松方程），然后沿该搜索方向进行单参数优化步，其中牛顿迭代非常有效。对 PSD 迭代求解器进行了理论分析，并证明了迭代的几何收敛速率。特别地，数值解的严格分离性质，即数值解与相变量奇异极限值 $\pm 1$ 之间存在一致距离，在迭代收敛分析中起着至关重要的作用。最后给出若干数值结果以展示 PSD 求解器的鲁棒性和效率。