Flory-Huggins-Cahn-Hilliard 方程带动力学边界条件的唯一可解且保持正性的有限差分格式
数值分析
2025-01-23 v2 数值分析
摘要
本文提出并分析了一种用于Flory-Huggins-Cahn-Hilliard 方程（带动力学边界条件）的有限差分数值格式。该方程包含奇异对数势能的Flory-Huggins 能量展开。同时，边界轮廓的动力学演化方程对应于较低维数的奇异能量势。相对于该耦合系统的理论分析变得极其具有挑战性，因为其包含针对内部区域和边界上的非线性和奇异能量势。 在数值设计中，应用凸分割方法处理与能量相关的化学势，既适用于内部区域，也适用于边界：对奇异和对数项，以及表面扩散项采用隐式处理，对凹的扩张项采用显式处理。此外，相变量的离散边界条件与边界轮廓的演化方程耦合。最终的数值系统高度非线性、奇异且耦合。通过对有限差分近似和凸性分析的细致考察，发现该数值系统可表示为离散数值能量泛函的最小化，其中包含内部和边界积分。更重要的是，所有奇异项对应于离散凸函数。因此，基于对数项在奇异极限值附近的奇异性质，表明数值解不会到达这些值，从而可以理论上证明唯一可解性和正性保持分析。通过对有限差分内积的细致估计，可以建立总能量稳定性分析。本文还呈现了一些数值结果。
引用
@article{arxiv.2407.13453,
title = {A uniquely solvable and positivity-preserving finite difference scheme for the Flory-Huggins-Cahn-Hilliard equation with dynamical boundary condition},
author = {Yunzhuo Guo and Cheng Wang and Steven M. Wise and Zhengru Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.13453},
year = {2025}
}